Исследование особых точек на устойчивость

Исследуем найденные особые точки на устойчивость. Для этого производится линеаризация (замена на линейное выражение) системы (1) в малой окрестности каждой особой точки. Представим Х1Х2 в следующем виде:

Х1=х1+ε

Х2=х2+η

Где ε, η - относительные возмущения, соответственно от значений х1 и х2. Тогда линеаризуемая система в малой окрестности особой точки, соответствующая исходной системе (1) имеет следующий вид:

ε/dt=aε+bηη/dt=cε+cη (3)

Решение системы уравнений имеет линейный вид:

ε(t)=C1eλ1t, η(t)=C2eλ2t, где С1, С2- константы.

Устойчивость особых точек определяется корнями характеризующего уравнения (квадратичное уравнение):

λ2+(a+d)λ+(ad-bc)=0 (4)

λ 1,2=(a+d)/2±√(a + d)2/4+bc-ad (5)

где λ 1,2 - корни характеризующие уравнения.

Найдём величины a, b, c, d:

a= dP/dx1=c1-a12x2,=dР/dх2=-а12х1=dQ/dx1=a21x2,=dQ/dx2=-c2+c21x1

Для каждой особой точки находим λ l , λ 2 по формуле (5):

-я особая точка:

а=с1; b=0; d=-c2

Таким образом, корни характеристического уравнения для 1-ой особой точки являются действительными и противоположными по знаку числами, поэтому эта точка равновесия является седлом (две интегральные кривые проходят через эту точку, остальные представляют собой гиперболы). Эти особые точки неустойчивы. Характеристика седла: изображающая точка, двигаясь по интегральным кривым, удаляется от особой точки, т.е. одно из экспоненциальным кривым, удаляется от особой точки, т.е. одно из экспоненциальных решений со временем увеличивается, а другое падает.

-я особая точка: =0; =-a12c2/c21;=c1a21/a12;=0;

Таким образом, корни характеризующего уравнения для 2-ой особой точки являются чисто мнимыми числами, следовательно, вторая особая точка. Представляет собой центр. В случае седла изображающая точка не проходит через особую точку.


Другие статьи

Выявление видового состава и определение условий формирования малакофауны в городских условиях
Причины, определяющие распространение живых организмов на поверхности нашей планеты, легко разделить на две большие категории. Первая - факторы, влияющие на размещение условий, в которых может существовать тот или иной организм. Вторая - совокупность тех исторических ...

 
 
 

2018 Копирайт : www.ecologyreality.ru